近些年來，3D打印產（chǎn）業（yè）發展迅猛， 新型打印技術和設備層出不窮。3D打印技術被認為將會為個（gè）性化產品的設計及（jí）生產帶來（lái）革新。同時，3D打印技術的發展也給數字幾何處理（lǐ）帶來了新的（de）挑戰。研究人員從探索並優化3D打印這一實例化模型的（de）過程出發，結合三維（wéi）模（mó）型的幾何特性開展一係列的研究，並受到越來越多的重視和關注。

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在傳統的建模過程中，研（yán）究（jiū）人員更多考慮的是三維模型與實體的幾何相似性。而隨著3D打印機的日益普（pǔ）及， 對模型進行（háng）實例化製造也變得越發便捷，這使得研究人員開始了對於優化這（zhè）一過（guò）程方式的（de）探索，即希望能通過更加快速、廉價的方式打印出可以實現某些特定功能的實例化模型。由於3D打印（yìn）技術的發（fā）展（zhǎn）曆（lì）史以及研（yán）究現狀並非本文的重點（diǎn），本文將不對其進行（háng）詳細介紹，具體請參見這方（fāng）麵的相關綜述。本文將著重介紹在（zài）3D打印啟發下對模型實例化這一過（guò）程進行優化方（fāng）麵的研究工作，並分（fèn）別從模型設計（jì）和打印過程2個階段進行闡述（shù）。值得注意的是，不同於之前工作中對於相關幾何計算問題基於自（zì）身特點（diǎn）的分類（lèi），接下來我們側重分析問題提出的背景（jǐng）以及其在整個實例化過程中所（suǒ）起到的作用，從而希望（wàng）能夠對想要尋（xún）找新的研究問題的讀者有所啟發。  

1  模型設計（jì）優化（huà）  

3D打印技術的廣泛適用性，使得通過傳（chuán）統方式建模得到的三維模型理論上都可以直接通過（guò）3D打印機得到實體。但是，由於在模（mó）型（xíng）設計過程中並沒有考慮模（mó）型自重、受力等因素，打印完成的實體可（kě）能極易斷（duàn）裂（liè）或者無（wú）法實現如平穩站立等特殊的功能性要（yào）求。因此，研究人員通過對現有模型進行改造（zào）的方式優化靜（jìng）態（tài）三（sān）維模型的（de）設計。另外，3D打印的（de）發展同時也為動（dòng）態模型的製造提供了極大的便利；相應地，可打印的動態模型設計方麵的研究也成為了熱點。

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1．1  靜態模型  

對靜態的實例化模型最基本的要求是其結構的穩定性，即打印（yìn）過程中以及完（wán）成後的實物不易斷（duàn）裂或破損． 為了（le）保證模型的這一特性，研究人員對模（mó）型進行（háng）了可打印性（printability）分（fèn）析。Telea等根據經（jīng）驗得（dé）出模（mó）型中過細的部分是影響可打印性的（de）關鍵，並製定出了多個（gè）相應（yīng）的判定準則，進而給出（chū）了第（dì）一個自動分析模型可打印性的算法；但是他們並（bìng）沒有給出完善模型可打印性的方案（àn）。此後，Nelaturi等在分（fèn）析精確度上對其進行了改進，並提出了局（jú）部加粗（cū）的修正方法（fǎ）。Stava等則依靠分析模型的自重以及模型被拿起時可能的受力點來檢測出薄弱結構，然後通過（guò）增（zēng）加支柱、局部（bù）加粗以及內部挖洞等方式，在盡可能小地改變模（mó）型外形情況下來增強模型（xíng）的可打印性。 

以圖1a所示打印（yìn）完成的卡通香蕉模型為例（lì），通過加粗腿部結構以及在後（hòu）背加上支（zhī）柱，模型得以完整打印（yìn）並且不會因為自重破裂。另外，Umetani等通過分析給定方向切麵上的（de）受力信息來對結構強度進行分析。上述對可打印性以（yǐ）及結構穩定性分析的方（fāng）法，都依賴於對模型所受外力（lì）以及自身（shēn）重力的物理結構分析，但是對外（wài）力的預估往往並不（bú）是十分準確，因此他（tā）們分析結果的真實性和可靠性相對減弱。針對上述問題，Zhou等在不對模型受力情況（kuàng）進行假設的（de）前提下，單純從模（mó）型的幾何形態及其組成材（cái）料對最容（róng）易斷裂或者破損的部分進（jìn）行分析檢測，其中技術關鍵則是模態分析（modal analysis）。但也正是由於他（tā）們假設的限製性，所提出的算法隻初步考慮了材料的線性彈性，並未（wèi）對材料的（de）各種屬性進行充分的（de）分析。

 

平衡性是對靜（jìng）態模型的另（lìng）一個常規要求，但（dàn）是如果將（jiāng）給（gěi）定模型直接打印，則可能會由於重心不穩定的原（yuán）因無法使其保持平衡。Prévost等提出了一個交互式對（duì）模型體進行改變的方式，使得模型能夠以指定的方式穩定（dìng）站立或者懸掛；其中（zhōng）允許的改變包括對模型表麵進行形變以及在模型內部挖洞。類似地，為了能夠讓模（mó）型像陀螺或者悠（yōu）悠球一樣（yàng）旋轉，B?cher等通過（guò）在模型（xíng）體內挖洞（dòng）來改變質（zhì）量分布的（de）方式，使模型在旋轉過程中保持（chí）穩定狀態。Yamanaka等則通過改變模型內部結構（gòu）使其質量分布滿足預定的期望。

圖1b和圖1c中分別展示了（le）3D打（dǎ）印出來的可以穩定站立和旋轉的模型。這方麵的研究通常是先分析出模型為滿足所研究的（de）某一功（gōng）能性要求的理想（xiǎng）密度（dù）分布，然後通過改變模型內部材料分布，以及對模型外形進行（háng）輕微形變來（lái）達到要求。除了通過對現有模型進行改造得到滿足特（tè）定要求的模型外，新的以3D打印為目的的建模方式也應運而生，如（rú）合理的家具模型（xíng）設計、幾何裝飾品設計以及平板拚裝模型（xíng）的設（shè）計等。此外（wài），由於（yú）通常情況下設計和生產（chǎn）需要經過多次反複測試才能最終得到理（lǐ）想的模型和實（shí）物，快速打印出近似的模型（xíng）設計來（lái）查（chá）看當前存在問題，可以有效地加快設計修改的進（jìn）度。 

1．2  動態模型  

關（guān）節模型是較為常見的（de）一種動態模（mó）型，且在（zài）計算機動畫領域（yù）應用廣泛。然而，傳（chuán）統的關（guān）節模型通常不能直接作為3D打印機（jī）的輸（shū）入（rù）進（jìn）行製造（zào），因（yīn）此如（rú）何在（zài）已有數據基礎上設計出可直接打印的關節模型（xíng）成為一個關鍵問題。以包含表麵幾何信息（xī）以及內部骨骼信息（xī）的蒙皮網格為輸入（rù），B?cher等將其（qí）自動轉（zhuǎn）化成（chéng）單個（gè）可以直接打（dǎ）印的關節模型，圖2a顯（xiǎn）示了（le）同一個關節模型的不同姿（zī）勢。Calì等則將重點放在（zài）不同類型關節結構的設計上，對於給定的一個普通靜態網格，他們通過用戶（hù）交互的方式構造出相似的關節模型。同樣，這（zhè）裏的關節模型也是可以直接打印的整體，不需要拚裝。圖（tú）2b顯示了一個3D打印得到（dào）的手關節模型（xíng）。這一類研（yán）究（jiū）工作的重點主要在於關（guān）節結構的設計，以及如何在輸入模型中（zhōng）分布這些關（guān）節以使得最終模型能夠自如活動。

 

通過對關節的控製，可以將關節模型擺出不同的姿勢，而機械模型（mechanical model）則能進一步通過控製齒輪運（yùn）動得到模型的動（dòng）畫。機械玩具、機械人及機械卡通等設計相繼得以實（shí）現，並通過3D打印技術（shù）得以快速製造，如圖3所（suǒ）示。機械模型的設計依賴（lài）於初始輸（shū）入對最終動畫的要（yào）求，從預（yù）先生成（chéng）的部件庫中選取並組裝合適的部件，使得（dé）最終的（de）模型能夠完成輸入的（de）動畫要求。

 

此外，3D打印技術的發展（zhǎn）還激發了其他一些有趣動態模型的創造（zào）。Zhou等在將一個給（gěi）定模（mó） 型體素化（voxelization）之後（hòu），通過優化相鄰體素之間的關（guān）節類型分布以及折疊路徑的設置，最終使得體素化後的模型能夠折疊成方塊。Megaro等則提供了一個交互工具用（yòng）來設計類似於皮影戲中人偶的動態模型。

2  打（dǎ）印過程優化

設計完成的（de）三維模型（xíng）將作為3D打印機的輸入用於實例化製造。通常，模型是以三維表麵網格的形式表示， 但（dàn）是3D打印出來的是實體模型，所以第一步需（xū）要先將表（biǎo）麵網（wǎng）格轉化為（wéi）體表達。接（jiē）著，在確定出打（dǎ）印方向（xiàng）之後， 實體模型需要被切割成垂直於打印（yìn）方向的層結構，最終通過逐層堆（duī）疊積（jī）累的方式打印出完整模型。以下將就打（dǎ）印不同階段所遇到的優化問題分別對相應研究進行簡介。   

2．1  容量限製（zhì） 

每一款3D打印機都（dōu）有可打（dǎ）印容量的限製， 所以在打印開始前可能出現的情況是現有的打印機無法容納下需要打印的模型。就這一（yī）問題，將輸入模型（xíng）自動切割並分別打印（yìn）之後再組裝回原模型的算法相繼被提出（chū）。這些算（suàn）法都采（cǎi）用平麵切割（gē），並且都在切割麵上設計並分（fèn）布了連接器（connector），以使（shǐ）得（dé）部件間可以靈活組裝。相比之（zhī）前的（de）工作（zuò），Luo等在切割（gē）過程中更多地考慮了可打印（yìn）性、結構（gòu）穩定性、拚裝簡易性、美學特征等信息，分割（gē）塊數也（yě）更少。圖4a顯示了采用該（gāi）算法得到的對椅（yǐ）子模型的分割結果以及打印後拚裝成的實體模（mó）型。通過限製（zhì）用平麵對模型切割，從而便於在其上增加連接器，並將這一模型分割問題轉（zhuǎn）化為尋找最優（yōu）BSP樹的問題，再通過束搜索（beam search）算法對其（qí）進行求解。

 

針對連接器在有些情（qíng）況下不能給部件之間提供充分的（de）結構性保證，而且在運輸或者裝配過（guò）程中容易（yì）損壞的（de）問題，Song等提（tí）出了（le）將（jiāng）三維（wéi）模型（xíng）切割成互鎖的（interlocking）部（bù）件來避免使（shǐ）用（yòng）連接器，如圖4b所示。通過這種互鎖的方式，拚裝之後的模型具備了較高的穩定性，又保證了每一塊分割模型的表麵的光滑性。但是，這一方式的分割（gē）又無法同時達到拚裝（zhuāng）簡易性、具有美學特征等方麵的要求。 

2．2  打印實（shí）體 

在對模型進行可（kě）打印性（xìng）分析以及在為實現其他功能特性（xìng）對模型進行改造時，一般都會假設對（duì）最終得到（dào）的網格進行實（shí）心打印（除了改造過（guò）程中已挖空的部分）。然而（ér），為了（le）節省打印材料以及打（dǎ）印時間，通常3D打印機（jī）都會對模型體內用相對於表（biǎo）麵較為鬆散的結構進行稀（xī）疏填充。但（dàn）是，一般自帶軟件的稀疏填充功能在材料以及時間上的節（jiē）省度往往達不到用戶期望，所以不少研究者提出了不同（tóng）的從三維表麵網格到（dào）可打印實體的轉化方式。

Wang等將（jiāng）模型表達成如圖5a所示一個很薄的蒙皮以及內（nèi）部（bù）的剛架結（jié）構，使得表達後的物體體積（jī）最小，且打（dǎ）印物體能夠（gòu）滿足所要求的物（wù）理強（qiáng）度、受力穩（wěn）定性、自平衡性及（jí）可打印性等要求。Lu等則用圖5b所（suǒ）示蜂窩結構作為模型的內部結構，在減少材料損耗的同時保證了模型的強度。

這2項工作的主要貢獻在於對自穩定結構的探索並將其成功引入到3D打印過程中（zhōng）來。用（yòng）自穩定結（jié）構對模型進行近似，使得其在打印過（guò）程中（zhōng）的材料消耗大大降低的同時（shí）保證了結構的穩（wěn）定性。為了在結構優化過程中實現結構幾何形狀與對象受力（lì）傳遞路徑保持一致（zhì），徐文（wén）鵬等通過（guò）逐步刪除無效或者低利用率的內部材料來（lái）最小化（huà）打印體積。Vanek等則並未（wèi）從自穩定結構出發，且減（jiǎn）弱了對模型穩定性的考（kǎo）慮，更側重於材料（liào）和時間的節省。他（tā）們直接用圖5c所示表麵的薄層來表示模型，並且將表麵薄層分（fèn）割堆疊後再（zài）一起進行（háng）打印，從而達到進一步節省打印時間和材料的目的。

2．3  分層方式 

一般的3D打印過程中，都是沿著選定的（de）打印方向（xiàng）對模型體根據打印精度進行均勻分層，即每一層具（jù）有相同厚度（dù）。事實上（shàng），由（yóu）於模型在不同部位（wèi）的精細程度不一樣，所以最合適（shì）的層厚度也會（huì）有 所差異。而分層方式的優化，可以在一（yī）定程度上提高打印效率。對於CAD模型進行自（zì）適應分層的相關工作可參（cān）見（jiàn）綜述（shù）文獻，這一類工（gōng）作主要側重點（diǎn）在於打印得（dé）到的模（mó）型與輸入模型在幾何上的近似程（chéng）度。Wang等則（zé）在通過選取合適的打印方向之後，提出了在保模型顯著特征（zhēng）的前提下進行自適應分層（céng）的算法，即根據特征在不同區域選用不同厚度的層結（jié）構。其中的關鍵技術是將這一保顯著特征的自適（shì）應（yīng）分（fèn）層算法轉化為帶約束的（de）稀疏優化問題進行求解。為了進一步減少打印時間（jiān），還可以（yǐ）根（gēn）據顯著性特征的分析對模型進（jìn）行分塊，再對每一塊分別進行自（zì）適應分層。   

2．4  打印材料 

雖然目前大多數低端的（de）3D打印機都隻有一個噴頭（tóu），且僅支持單種材料；而（ér）更多實物是由多種材料構（gòu）成的， 因此支持多種材料（liào）的3D打印機（jī）是硬件發展（zhǎn）的必然（rán）趨勢，現已有少數（shù）產品正式（shì）上市。對於需要（yào）多種（zhǒng）材料進行打印的模型，相比直接給出材料的組合方式，更自然的方式則是讓用戶給出這個模（mó）型想要（yào）得到的材質和外觀效果。相應地，如何將多種不同的基本（běn）材料進行組合得到期望的效果，是針對多材料3D打印（yìn）機的（de）研究熱點。Bickel等通過優化不同種材料之間層次疊加的組合方式（shì）使得（dé）最終打印的模型能夠達到給定的受到外力時的形變（biàn）效果。Ha?an則希望通過組合基本（běn）材料的方式來得到理想的表麵（miàn）散射效（xiào）果。為了將上述操作進行整合，Chen等基於新的描述材料（liào）空間以及優（yōu）化過程的數據結構，提出了一個統一處理不同（tóng）目標下多種材料合（hé）成問題的算法框架Spec2Fab。Vidim?e則提出了另一個可編程流水線係統OpenFab來解決多種材料合成問題。不同於Spec2Fab，他們能夠讓用戶直接準確地給出對於最終打印模型幾何（hé）以及材料上的特性要求。此外，還有（yǒu）針對（duì）較普及的（de）低端（duān）帶兩（liǎng）噴頭的3D打印機方麵的研究工作，例如減少2種材料之間的相互滲 透以及在模型表麵打（dǎ）印出給定的紋理圖（tú）像。

 

2．5  支撐結構  

通（tōng）常，上述研究工作都適用於各種類型的3D打（dǎ）印（yìn）機。熔融沉積式（fused deposition modeling， FDM）3D打印（yìn）機由於價格低廉、操作簡單，深（shēn）受個人用戶以及教育機構歡迎，其（qí）普及程度較高（gāo）。因此，有不（bú）少研究工作（zuò）都是針對這類3D打印機（jī）開展的。這類（lèi）打印機的最大缺（quē）點是（shì）在打印時對（duì）於（yú）那些懸空（kōng）的結構需要打印額外（wài）的支撐結構，使（shǐ）之得以附著。而這些支撐結構所帶來的弊端，一方麵（miàn）是造成了材料和時間的浪費，另一方麵（miàn）是在打（dǎ）印完成後需要手動將這些支（zhī）撐材料從（cóng）模型上去除。更嚴重的是，由於它們之間的附著（zhe）較為（wéi）緊密，很難去除（chú），使得在去除（chú）過程中可能會損壞打印的模型。 

因（yīn）此，減少支撐材料成為優化此類打印技術的關（guān）鍵，現有研究所采用的方式大致（zhì）可以（yǐ）分為2類（lèi）：

第1類方式是保持原模型不（bú）變而改變支撐結構， 使支撐結構本身的材料使（shǐ）用量減少． 目前， 3D打印機自帶軟（ruǎn）件所生成的支撐結構通常是垂直連接懸空（kōng）部分和（hé）其下最接近的實（shí）體（tǐ）部分， 如圖6a所示的3D打印機MakerBot? ReplicatorTM自帶軟件生成的支撐（chēng）結構． 可以看到， 這一類支撐結構並非最優結構， 支撐材料的（de）消耗將遠大於模型真實所需． 為了改善支撐結構（gòu）， Wang等通（tōng）過先檢測（cè）出懸空點， 再用類似於棍狀結（jié）構來連接懸空點和離得最近的網格上或（huò）者地麵上的點． 在自動尋（xún）找並（bìng）添（tiān）加（jiā）支撐結構杆的同時， 陳岩等還對支撐杆的具體（tǐ）結構進行（háng）了調整， 使其穩定性更強並易於  去除． Vanek等則提出了自動生成類似於AUTODESK? MeshmixerTM所生成的樹（shù）狀支撐結構的算法， 如圖6b所示． 這一支撐結構（gòu）在材料和（hé）時間節省量上有更大的優勢． 此外， Dumas等  提（tí） 出（chū）了一（yī）種橋（qiáo）形結構作為支撐， 如圖6c所示（shì）； 相對於樹狀結構， 橋（qiáo）形支撐結構具有更大的強度， 也更為穩定．

 

第2類方式是對模（mó）型進行形變或者在對其進行切割後分塊（kuài）打印，以降低其（qí）對支撐結構的需求（qiú）。在給（gěi）定打印方向的（de）前（qián）提（tí）下，Hu等提出了一個對模型體做少量形變，從而最大限度地減少支撐材料使用的算法。在限製（zhì）了切割方向隻能（néng）垂直於打印（yìn）方（fāng）向（xiàng）之後，Nakajima等提出了一個同時優化打印方向和相應的切割位置的算法。Hu等則（zé）在不對打印方向和切割方向做任何假設的情況下，提出了三維模（mó）型的金字塔分割（gē）問（wèn）題，並將其轉化為（wéi）集（jí）合精確覆蓋問題進行近似求解。其中（zhōng）金字（zì）塔分割問題是（shì）將給定的三維模型分割成最少塊金字塔形狀（zhuàng），而金字塔形狀沿著其對應的正方向是自支撐（chēng）的，所以打印時不需要任何（hé）支撐材（cái）料。圖7顯示了（le）直（zhí）接打印得到的CCTV大（dà）樓（lóu）模型，以及（jí）對其進（jìn）行近似金字塔分割後打印（yìn）的結果。將給定的三維模型進行近似金字塔分割，並對分割塊分別以其對應的正方向進行打印後（hòu）再拚裝回原模型，Hu等的算法大大減（jiǎn）少了對支撐材（cái）料的（de）需求。盡（jìn）管金字塔形狀在打印（yìn）時不需要任何支撐材料，但是三維模型（xíng）不一定必須是金字塔形才能使得其對支撐（chēng）材料的需求為零（líng）。在實際打印（yìn）過程中，當三維模型表（biǎo）麵（miàn）隻有小幅度的傾斜角（jiǎo）度時，它可以不需要支撐材（cái）料而直接（jiē）打印，因此對模型進行金字塔分割並（bìng）不能保證在最小化分割塊數以及最大（dà）化材料節省（shěng）2方麵都達到最優狀態。

 

3  總結 

3D打印的發展使得（dé）從模型設計到生產（chǎn）的時（shí）間周期（qī）明（míng）顯縮短，進而在設計過程中可以充分地考慮打印相關（guān）的因素並進行處理，因此設計出的模型將更有實用價值。另一方麵，對於打（dǎ）印過程進行進一步優化（huà）的研究工（gōng）作（zuò）也促進了3D打印技術的快速發（fā）展（zhǎn）。對於在3D打印啟發（fā）下對模型實例化進行優化的工作，本文從（cóng）模型設計和打印2個階段對現有研究進（jìn）行了簡述。在模型設計階段， 基於對最終實例化（huà）模型的不同功能性（xìng）要求，之前的研究工作對給定的數字化三維模型進行不同方式的分析和處理，使得其滿足給定的要（yào）求。然而，現實生活中存在著各種各樣具有不同功（gōng）能的物體，目前已（yǐ）經被研究過的功能特性、能夠直接打印的功能性物體隻是這其中極小一（yī）部分。

 

由於3D打印使得模型的製造變得非常便利，相對於模型的幾何形態，研究者（zhě）可以更（gèng）注重對模（mó）型功能性的探索和分析，以輔助設計出能夠直接打印的、具有特定複（fù）雜功能的物體。在實體打印（yìn）階段，為了能夠使得打印順利完成，或者進一步節省打（dǎ）印時間和材料，亦或者（zhě）使得模型外觀在打印完成後達到某一特定的效（xiào）果，研究人員在各個打印步驟進行了優化。但是，往往每一項工作都會為了（le）優（yōu）化某一特定目標，而忽略其他重（chóng）要特性。例（lì）如，為（wéi）了節省打印材料和時（shí）間而對給定模型進行分割（gē），卻造成了模型（xíng）結構上的不穩定（dìng）性；在優（yōu）化支撐結構的同時並未考慮模型的實體結構，而是假設其進行實心打印。因此（cǐ），全麵分析打印各步驟可能的優化方式，並結合模（mó）型所應（yīng）具備的各種功能特性給出一個（gè）完（wán）善的模型實例化係（xì）統，將會是一個巨大貢獻。隨著3D打印技術的不斷發展，我們相信將會有更多有趣的、值得研究和探（tàn）索的（de）幾何處理問題不斷（duàn）湧現，而這些問題的解決又將進一（yī）步促進3D打印技術的發展。